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题目
题型:不详难度:来源:
(备用题)如图,已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)上的点M(1,
3
2
)
到它的两焦点F1、F2的距离之和为4,A、B分别是它的左顶点和上顶点.
(Ⅰ)求此椭圆的方程及离心率;
(Ⅱ)平行于AB的直线l与椭圆相交于P、Q两点,求|PQ|的最大值及此时直线l的方程.
答案
(I)由题意,∵椭圆上的点M到它的两焦点F1、F2的距离之和为4,
∴2a=4,∴a=2
∴方程为
x2
4
+
y2
b2
=1

将M(1,
3
2
)代入得
1
4
+
(
3
2
)
2
b2
=1
,∴b2=3,∴c2=1
∴椭圆方程为:
x2
4
+
y2
3
=1
e=
c
a
=
1
2

(II)∵kAB=


3
2
,∴设l的方程为:y=


3
2
x+m






y=


3
2
x+m
x2
4
+
y2
3
=1
,∴3x2+2


3
mx+2m2-6=0

∴△=12(6-m2)>0,∴0≤m2<6
P(x1y1),Q(x2y2)
,则x1+x2=-
2


3
m
3
,x1x2=
2m2-6
3

∴|PQ|=


1+k2


(x1+x2)2-4x1x2
=


1+
3
4


4m2
3
-4•
2m2-6
3
=


42-7m2
3

∵0≤m2<6,∴m2=0,即m=0时,|PQ|max=


14
,此时l的方程为y=


3
2
x
核心考点
试题【(备用题)如图,已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点M(1,32)到它的两焦点F1、F2的距离之和为4,A、B分别是它的左顶点和上顶点.(Ⅰ)求此】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知点B(6,0)和点C(-6,0),过点B的直线l与过点C的直线m相交于点A,设直线l的斜率为k1,直线m的斜率为k2
(1)如果k1•k2=-
4
9
,求点A的轨迹方程,并写出此轨迹曲线的焦点坐标;
(2)如果k1•k2=
4
9
,求点A的轨迹方程,并写出此轨迹曲线的离心率;
(3)如果k1•k2=k(k≠0,k≠-1),根据(1)和(2),你能得到什么结论?(不需要证明所得结论)
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已知平面直角坐标系xoy中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为F(-


3
,0)
,右顶点为D(2,0),设点A(1,
1
2
).
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)若P是椭圆上的动点,求线段PA的中点M的轨迹方程;
(3)过原点O的直线交椭圆于B,C两点,求△ABC面积的最大值,并求此时直线BC的方程.
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已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)经过点A(1,


2
2
),且离心率为


2
2
,过点B(2,0)的直线l与椭圆交于不同的两点M、N.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求
.
BM
.
BN
的取值范围.
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若点(3,1)是抛物线y2=2px(p>0)的一条弦的中点,且这条弦所在直线的斜率为2,则p=______.
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已知定点A(2,0),它与抛物线y2=x上的动点P连线的中点M的轨迹方程为______.
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