题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分15分）
已知曲线C上的动点满足到点的距离比到直线的距离小1．
求曲线C的方程；过点F的直线l与曲线C交于A、B两点．（ⅰ）过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，证明：；（ⅱ）是否在y轴上存在定点Q，使得无论AB怎样运动，都有？证明你的结论．

答案

(Ⅰ)     (Ⅱ)  （ⅰ）略（ⅱ）

解析

（1）依题意有，由显然，
得，化简得；     
（2）（ⅰ） 设AB：y=kx+1,
，  ，    
抛物线方程为 
所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是， ，
即     10分
（ⅱ）设点，此时，
由（ⅰ）可知
故对一切k恒成立
即：故当，即时，使得无论AB怎样运动，都有 15分