题目
题型:不详难度:来源:
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)已知圆W: 的切线与轨迹相交于P,Q两点,求证:以PQ为直径的圆经过坐标原点.
答案
解析
试题分析:(1)针对点的位置:点在线段上、点在轴上且在线段外、点不在轴上进行分类确定点的轨迹,前两种只须简单的检验即可,当点不在轴上时,在中,应用余弦定理得,化简得到,再根据圆锥曲线的定义,可知动点在以为两焦点的椭圆上,由椭圆的相关参数即可写出椭圆的方程,最后综合各种情况写出所求轨迹的方程;(2)先验证直线斜率不存在与斜率为0的情形,然后再证明直线斜率存在且不为0的情况,此时先设直线,设点,联立直线与轨迹的方程,消去得到,进而求出及,得到,利用直线与圆相切得到,代入式子中,即可得到,从而问题得证.
试题解析:(1)①当点在线段上时
不存在或,均不满足题目条件 1分
②当点在轴上且在线段外时,
,设
由可得∴∴ 3分
③当点不在轴上时,
在中,由余弦定理得
,即动点在以为两焦点的椭圆上
方程为:()
综和①②③可知:动点的轨迹的方程为: 6分
(2)①当直线的斜率不存在时
∵直线与圆相切,故切线方程为或
切线方程与联立方程组
可求得为或为
则以为直径的圆的方程为,经过坐标原点
②当直线的斜率为零时
与①类似,
可求得以为直径的圆的方程为,经过坐标原点 10分
③当直线的斜率存在且不为零时设直线的方程为
由消去得
设,则
∴
∴①
∵直线和圆相切
∴圆心到直线的距离,整理得②
将②式代入①式,得,显然以为直径的圆经过坐标原点
综上可知,以为直径的圆经过坐标原点 14分.
核心考点
举一反三
(1)求椭圆C2的方程;
(2)设直线l与椭圆C2相交于不同的两点A、B,已知A点的坐标为(-2,0),点Q(0,y0)在线段AB的垂直平分线上,且=4,求直线l的方程.
(1)求椭圆的方程;
(2)试问△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)设EF为曲线C的一条动弦(EF不垂直于x轴),其垂直平分线与x轴交于点T(4,0),当p=2时,求|EF|的最大值.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设M是椭圆的上顶点,过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=4,证明:直线AB过定点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过右焦点F2的斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于E、F两点,A为椭圆的右顶点,直线AE,AF分别交直线x=3于点M,N,线段MN的中点为P,记直线PF2的斜率为k′,求证: k·k′为定值.
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