题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C₁：＝1，椭圆C₂以C₁的短轴为长轴，且与C₁有相同的离心率．
(1)求椭圆C₂的方程；
(2)设直线l与椭圆C₂相交于不同的两点A、B，已知A点的坐标为(－2,0)，点Q(0，y₀)在线段AB的垂直平分线上，且＝4，求直线l的方程．

答案

（1）＋y²＝1（2）y＝± (x＋2)

解析

(1)由题意可设椭圆C₂的方程为＝1(a>b>0)，则a＝2，e＝，∴c＝，b²＝1，
∴椭圆C₂的方程为＋y²＝1.
(2)由A(－2,0)，设B点的坐标为(x₁，y₁)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)．
于是A，B两点的坐标满足方程组
由方程组消去y并整理，得(1＋4k²)x²＋16k²x＋(16k²－4)＝0，由－2x₁＝，得x₁＝，从而y₁＝，设线段AB的中点为M，
则M的坐标为.
①当k＝0时，点B的坐标为(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是＝(－2，－y₀)，＝(2，－y₀)，由·＝4，得y₀＝±2，∴l的方程为y＝0.
②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为
y－＝－，令x＝0，解得y₀＝－，由＝(－2，－y₀)，＝(x₁，y₁－y₀)，·＝－2x₁－y₀(y₁－y₀)＝＋·＝4，整理得7k²＝2，
故k＝±，∴l的方程为y＝± (x＋2)．