题目
题型:不详难度:来源:
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)设EF为曲线C的一条动弦(EF不垂直于x轴),其垂直平分线与x轴交于点T(4,0),当p=2时,求|EF|的最大值.
答案
解析
又A,故=,=.
由题意知GA⊥GM,所以=0,
即=0,所以y2=2px.
因为M点不能在x轴上,故曲线C的方程为y2=2px(p>0,x≠0).
(2)设弦EF所在直线方程为
y=kx+b,E(x1,y1),F(x2,y2).
由得k2x2+(2kb-4)x+b2=0,①
则x1+x2=,x1x2=.则线段EF的中点为,线段EF的垂直平分线的方程为:
y-=-.令y=0,x=4,得-=-.
得bk=2-2k2.所以|EF|2=(1+k2)·(x1-x2)2=(1+k2)·[(x1+x2)2-4x1x2]=(1+k2) =16(1+k2)·=16(1+k2)·=16=-162+36.
由①,Δ=(2kb-4)2-4k2b2=4k2b2-16kb+16-4k2b2=16-16kb=16-16(2-2k2)=32k2-16>0.
得k2>,即0<<2.
所以,当=,即k=±时,|EF|2取得最大值,最大值等于36,即|EF|的最大值为6.
核心考点
试题【已知定点A (p为常数,p>0),B为x轴负半轴上的一个动点,动点M使得|AM|=|AB|,且线段BM的中点G在y轴上.(1)求动点M的轨迹C的方程;(2】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求椭圆C的方程;
(2)设M是椭圆的上顶点,过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=4,证明:直线AB过定点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过右焦点F2的斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于E、F两点,A为椭圆的右顶点,直线AE,AF分别交直线x=3于点M,N,线段MN的中点为P,记直线PF2的斜率为k′,求证: k·k′为定值.
(1)求双曲线的方程;
(2)过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为、,求的值;
(3)过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点,中点为,求证:.
(1)若定点到双曲线上的点的最近距离为,求的值;
(2)若过双曲线的左焦点,作倾斜角为的直线交双曲线于、两点,其中,是双曲线的右焦点.求△的面积.
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