题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C:+=1(a>b>0),左、右两个焦点分别为F₁,F₂,上顶点A(0,b),△AF₁F₂为正三角形且周长为6.
(1)求椭圆C的标准方程及离心率;
(2)O为坐标原点,P是直线F₁A上的一个动点,求|PF₂|+|PO|的最小值,并求出此时点P的坐标.

答案

(1) +=1   e=   (2)     (,)

解析

解:(1)由题设得
解得a=2,b=,c=1.
故C的方程为+=1,离心率e=.
(2)直线F₁A的方程为y=(x+1),
设点O关于直线F₁A对称的点为M(x₀,y₀),
则⇒
所以点M的坐标为(-,).
∵|PO|=|PM|,|PF₂|+|PO|=|PF₂|+|PM|≥|MF₂|,
|PF₂|+|PO|的最小值为
|MF₂|==.
直线MF₂的方程为y=(x-1),
即y=-(x-1).
由⇒
所以此时点P的坐标为(,).