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题目
题型:不详难度:来源:
(文科试题)已知抛物线y2=2px,O是坐标原点,F是焦点,P是抛物线上的点,使得△POF是直角三角形,则这样的点P共有______个.
答案
分3种情况加以讨论
①根据题意,显然∠POF不可能是直角,所以直角三角形△POF的直角顶点不可能是原点O,
②当∠PFO=90°时,即直角顶点在焦点F时,过点F作直线与x轴垂直,交于抛物线y2=2px于P点,这样满足条件的P点有两个;
③接下来证明∠OPF不可能是直角:
抛物线的焦点坐标为F(
p
2
,0),设抛物线上的点P坐标为(
y2
2p
,y),可得


OP
=(
y2
2p
,y),


FP
=(
y2
2p
-
p
2
,y)


OP


FP
=
y2
2p
y2
2p
-
p
2
)+y2=
y4
4p2
+
3y2
4

y4
4p2
>0且
3y2
4
>0


OP


FP
=


|OP|


|FP|
cos∠OPF
>0,
∴cos∠OPF>0,结合∠OPF∈(0,π),可得∠OPF是锐角.
综上所述,得满足条件的点P只有两个.
故答案为:2
核心考点
试题【(文科试题)已知抛物线y2=2px,O是坐标原点,F是焦点,P是抛物线上的点,使得△POF是直角三角形,则这样的点P共有______个.】;主要考察你对抛物线的几何性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知定点A(7,8)和抛物线y2=4x,动点B和P分别在y轴上和抛物线上,若


OB


PB
=0
(其中O为坐标原点),则|


PB
|+|


PA
|
的最小值为(  )
A.9B.10C.


113
D.


115
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已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,若抛物线的准线与双曲线5x2-y2=20的两条渐近线围成的三角形的面积等于4


5
,则抛物线的方程为(  )
A.y2=4xB.y2=8xC.x2=4yD.x2=8y
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直线y=x+b与抛物线x2=2y交于A、B两点,O为坐标原点,且OA⊥OB,则b=______.
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已知a,b∈N+,抛物线f(x)=ax2+bx+1与x轴有两个不同交点,且两交点到原点的距离均小于1,则a+b的最小值为______.
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抛物线y=2px2(p>0)的准线方程是______.
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