题目
题型:月考题难度:来源:
(1)求曲线C的方程;
(2)过点P(2,2)的直线m与曲线C交于A、B两点,设,当△AOB的面积为时(O为坐标原点),求的值.
答案
∴点M在直线l的上方,点M到F(1,0)的距离与它到直线l":y=﹣1的距离相等,
∴点M的轨迹C是以F"为焦点,l"为准线的抛物线,
所以曲线C的方程为=4y.
(2)当直线m的斜率不存在时,它与曲线C只有一个交点,不合题意,
设直线m的方程为y﹣2=k(x﹣2),即y=kx+(2﹣2k),
代入=4y得﹣4kx+8(k﹣1)=0(*)
△=16(k2﹣2k+2)>0对k∈R恒成立,
∴直线m与曲线C恒有两个不同的交点
设交点A,B的坐标分别为A(,y1),B(x2,y2),
则+x2=4k,x2=8(k﹣1),
∵|AB|===
点O到直线m的距离d=,
∴=,
∴(k﹣1)4+(k﹣1)2﹣2=0,
∴(k﹣1)2=1或(k﹣1)2=﹣2(舍),
∴k=0或k=2.
当k=0方程(*)的解为x=
若,,则,
若,则,
当k=2,方程(*)的解为
若,则
若,则
所以,.
核心考点
试题【已知曲线C上任意一点M到点F(0,1)的距离比它到直线l:y=﹣2的距离小1.(1)求曲线C的方程;(2)过点P(2,2)的直线m与曲线C交于A、B两点,设,当】;主要考察你对抛物线等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求抛物线的标准方程
(2)过(1)中抛物线的焦点F作动弦AB,过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M,求点M的轨迹方程,并求出的值.
(Ⅰ)求△AOB的重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程;
(Ⅱ)△AOB的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由
①若l与x轴不垂直,交抛物线于A、B两点,是否存在x轴上一定点E(m,0),使得∠AEQ=∠BEQ?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由?
②若L与X轴垂直,抛物线的任一切线与y轴和L分别交于M、N两点,则自点M到以QN为直径的圆的切线长|MT|为定值,试证之.
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