抛物线的顶点在原点，焦点在射线x﹣y+1=0（x≥0）上（1）求抛物线的标准方程（2）过（1）中抛物线的焦点F作动弦AB，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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抛物线的顶点在原点，焦点在射线x﹣y+1=0（x≥0）上
（1）求抛物线的标准方程
（2）过（1）中抛物线的焦点F作动弦AB，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，求点M的轨迹方程，并求出

的值．

答案

解：（1）∵是标准方程，
∴其焦点应该在坐标轴上，
∴令x=0，代入射线x﹣y+1=0，解得其焦点坐标为（0，1）
当焦点为（0，1）时，可知P=2，
∴其方程为x²=4y．
（2）设

，

过抛物线A，B两点的切线方程分别是

，

其交点坐标

设AB的直线方程y=kx+1代入x²=4y，得x²﹣4kx﹣4=0
∴

∵

∴

而

∴

．

核心考点

试题【抛物线的顶点在原点，焦点在射线x﹣y+1=0（x≥0）上（1）求抛物线的标准方程（2）过（1）中抛物线的焦点F作动弦AB，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交】；主要考察你对抛物线等知识点的理解。[详细]

举一反三

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图所示）．
（Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
（Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由

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已知抛物线方程为y²=4x，过Q（2，0）作直线l．
①若l与x轴不垂直，交抛物线于A、B两点，是否存在x轴上一定点E（m，0），使得∠AEQ=∠BEQ？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由？
②若L与X轴垂直，抛物线的任一切线与y轴和L分别交于M、N两点，则自点M到以QN为直径的圆的切线长|MT|为定值，试证之．

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如图，等边三角形OAB的边长为

，且其三个顶点均在抛物线E：x²=2py（p＞0）上。

（1）求抛物线E的方程；
（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q，证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。

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已知函数f（x）=ax²+ax和g（x）=x﹣a，其中a∈R，且a≠0．
（I）若函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试求△OAB的面积S的最大值；
（II）若p和q是方程f（x）﹣g（x）=0的两正根，且

，证明：当x∈（0，P）时，f（x）＜P﹣a．

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在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y²=4x的焦点F，且与该抛物线相交于A、B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60 °，则△OAF的面积为（）。

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