已知抛物线y2=4x上两定点A、B分别在对称轴两侧,F为焦点,且|AF|=2,|BF|=5,在抛物线的AOB一段上求一点P,使S△ABP最大,并求面积最大值. |
![魔方格](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191024/20191024085927-86730.png) 不妨设点A在第一象限,B点在第四象限.如图. 抛物线的焦点F(1,0),点A在第一象限,设A(x1,y1),y1>0, 由|FA|=2得x1+1=2,x1=1,代入y2=4x中得y1=2,所以A(1,2),…(2分); 同理B(4,-4),…(4分) 由A(1,2),B(4,-4)得 |AB|==3…(6分) 直线AB的方程为 =,化简得2x+y-4=0.…(8分) 再设在抛物线AOB这段曲线上任一点P(x0,y0),且0≤x0≤4,-4≤y0≤2. 则点P到直线AB的距离d=== …(9分) 所以当y0=-1时,d取最大值 ,…(10分) 所以△PAB的面积最大值为S=×3 ×= …(11分) 此时P点坐标为( ,-1).…(12分). |
核心考点
试题【已知抛物线y2=4x上两定点A、B分别在对称轴两侧,F为焦点,且|AF|=2,|BF|=5,在抛物线的AOB一段上求一点P,使S△ABP最大,并求面积最大值.】;主要考察你对
抛物线等知识点的理解。
[详细]
举一反三
已知抛物线x2=4y的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且=λ(λ>0).过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M. (I)证明.为定值; (II)设△ABM的面积为S,写出S=f(λ)的表达式,并求S的最小值. |
已知P为抛物线y2=4x上一点,设P到准线的距离为d1,P到点A(1,4)的距离为d2,则d1+d2的最小值为______. |
对于非零的自然数n,抛物线y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1与x轴相交于An,Bn两点,若以|AnBn|表示这两点间的距离,则|A1B1|+|A2B2|+|A3B3|+┅+|A2009B2009|的值 等于______. |
已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,过F且斜率为1的直线交C于A,B两点.设|FA|>|FB|,则|FA|与|FB|的比值等于______. |
直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点,O为抛物线的顶点,若OA⊥OB.证明:直线l过定点. |