直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点,O为抛物线的顶点,若OA⊥OB.证明:直线l过定点. |
证明:设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2) (I)当直线l有存在斜率时,设直线方程为y=kx+b,显然k≠0且b≠0.(2分) 联立方程得:消去y得k2x2+(2kb-2)x+b2=0 由题意:x1x2=y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=(5分) 又由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0,(7分) 即+=0,解得b=0(舍去)或b=-2k(9分) 故直线l的方程为:y=kx-2k=k(x-2),故直线过定点(2,0)(11分) (II)当直线l不存在斜率时,设它的方程为x=m,显然m>0 联立方程得:解得y=±,即y1y2=-2m 又由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0,即m2-2m=0,解得m=0(舍去)或m=2 可知直线l方程为:x=2,故直线过定点(2,0) 综合(1)(2)可知,满足条件的直线过定点(2,0). |
核心考点
试题【直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点,O为抛物线的顶点,若OA⊥OB.证明:直线l过定点.】;主要考察你对
抛物线等知识点的理解。
[详细]
举一反三
抛物线y2=4x,O为坐标原点,A,B为抛物线上两个动点,且OA⊥OB,当直线AB的倾斜角为45°时,△AOB的面积为______. |
已知定点A(3,4),点P为抛物线y2=4x上一动点,点P到直线x=-1的距离为d,则|PA|+d的最小值为______. |
在抛物线y2=2px上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p的值为( )A. | B.1 | C.2 | D.4 | 如图,圆形花坛水池中央有一喷泉,水管OP=1m,水从喷头P喷出后呈抛物线状,先向上至最高点后落下,若最高点距水面2m,P距抛物线对称轴1m,则为使水不落到池外,水池直径最小为______m. | 某河上有座抛物线形拱桥,当水面距顶5m时,水面宽为8m,一木船宽4m高2m,载货后木船露在水面上的部分高为m,问水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开始不能通航? |
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