题目

题型：不详难度：来源：

已知F₁，F₂是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P使

PF1

•

PF2

=0，则椭圆的离心率的取值范围是（　　）

A．（0，1）

B．(0， 2 2 ]

C．[ 2 2 ，1)

D．[ 1 2 ，1)

答案

∵椭圆上存在点P使

PF1

•

PF2

=0，
∴

PF1

⊥

PF2

，可得△PF₁F₂是以P为直角顶点的直角三角形
∵|

PF1

|+|

PF2

|=2a，|

F1F2

|=2c
∴椭圆的离心率e=

2c

2a

=

| F1F2 |

| PF1 |+| PF2 |

又∵(|

PF1

|+|

PF2

|)2≤2(|

PF1

|2+|

PF2

|2)=2|

F1F2

|2=8c²
∴e=

| F1F2 |

| PF1 |+| PF2 |

≥

2c

2 2 c

=

2

2

∵椭圆的离心率e∈（0，1），
∴该椭圆的离心率的取值范围是[

2

2

，1）
故选：C