题目

题型：不详难度：来源：

（12分）已知圆的方程为,椭圆的方程，且离心率为，如果与相交于两点，且线段恰为圆的直径.
（Ⅰ）求直线的方程和椭圆的方程；
（Ⅱ）如果椭圆的左、右焦点分别是,椭圆上是否存在点,使得,如果存在，请求点的坐标，如果不存在，请说明理由.

答案

（Ⅰ），；
（Ⅱ）存在P点坐标为，

解析

(Ⅰ) 解法一：若直线斜率不存在，则直线的方程为，由椭圆的对称性可知，，两点关于轴对称，A,B的中点为（4，0），又线段AB恰为圆的直径，则圆心为（4，0），这与已知圆心为（4，1）矛盾，因此直线斜率存在，…………1分
所以可设AB直线方程为，且设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),     设椭圆方程,…………………2分
将AB直线方程为代入到椭圆方程得，即（1），………………………………4分
，解得，故直线AB的方程为,…………6分
将代入方程（1）得5x²－40x+100－4b²=0.，
，得.                   …………………………………7分=，得，解得b²=9..
故所求椭圆方程为.     ………………………………………………8分
解法二：  设椭圆方程,…………1分
又设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),则,
又,两式相减，得，……3分
即(x₁+x₂)(x₁－x₂)+4(y₁+y₂)(y₁－y₂)=0，.
若，直线的方程为，由椭圆的对称性可知，，两点关于轴对称，A,B的中点为（4，0），又线段AB恰为圆的直径，则圆心为（4，0），这与已知圆心为（4，1）矛盾，所以.
因此直线斜率存在,且 =－1,故直线AB的方程为,  ……5分
代入椭圆方程，得5x²－40x+100－4b²="0" .   ………………………………6分
 ，，得.……………………7分
|AB|=, 
得，解得b²=9.故所求椭圆方程为.  ……8分
(Ⅱ)因为的中点是原点,
所以,所以与共线， …………………10分，
而直线AB的方程为y=－x+5,所以直线所在的直线方程为y=－x. 
，或.
所以P点坐标为，.    …………………12分