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题目
题型:不详难度:来源:
已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合,且该椭圆的长轴长为,是椭圆上的的动点.
(1)求椭圆标准方程;
(2)设动点满足:,直线的斜率之积为,求证:存在定点
使得为定值,并求出的坐标;
(3)若在第一象限,且点关于原点对称,点轴的射影为,连接 并延长交椭圆于
,求证:以为直径的圆经过点.
答案
(1);(2)存在;(3)证明过程详见试题解析.
解析

试题分析:(1)由双曲线的焦点与椭圆的焦点重合求出椭圆中的,再由,求出所求椭圆方程为;(2)先设,由,结合椭圆的标准方程可以得到使得为定值;(3)要证明以为直径的圆经过点,就是证明,详见解析.
试题解析:(1)解:由题设可知:双曲线的焦点为
所以椭圆中的
又由椭圆的长轴为4得
 
故椭圆的标准方程为: 
(2)证明:设,由可得:

由直线的斜率之积为可得:
 ,即 
由①②可得:…6分
M、N是椭圆上,故
,即 
由椭圆定义可知存在两个定点,使得动点P到两定点距离和为定值;
(3)证明:设
由题设可知 
由题设可知斜率存在且满足.……③
 
将③代入④可得:…⑤  
在椭圆,故 
所以 
因此以为直径的圆经过点.
核心考点
试题【已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合,且该椭圆的长轴长为,是椭圆上的的动点.(1)求椭圆标准方程;(2)设动点满足:,直线与的斜率之积为,求证:存在定点,使得为定值】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点,且椭圆的长轴长为4,M、N是椭圆上的的动点.
(1)求椭圆标准方程;
(2)设动点满足:,直线的斜率之积为,证明:存在定点使
为定值,并求出的坐标;
(3)若在第一象限,且点关于原点对称,垂直于轴于点,连接 并延长交椭圆于点,记直线的斜率分别为,证明:.
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椭圆为上顶点,为左焦点,为右顶点,且右顶点到直线的距离为,则该椭圆的离心率为(   )
A.B.C.D.

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已知顶点为原点的抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合在第一和第四象限的交点分别为.
(1)若△AOB是边长为的正三角形,求抛物线的方程;
(2)若,求椭圆的离心率
(3)点为椭圆上的任一点,若直线分别与轴交于点,证明:
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椭圆的一个焦点坐标是(   )
A.B.C.D.

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已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上,的中心和的顶点均为原点,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录如下:
(1)经判断点在抛物线上,试求出的标准方程;
(2)求抛物线的焦点的坐标并求出椭圆的离心率;
(3)过的焦点直线与椭圆交不同两点且满足,试求出直线的方程.
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