题目

题型：江西省月考题难度：来源：

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为l．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线l过点P（0，2）且与椭圆相交于A、B两点，当△AOB面积取得最大值时，求直线l的方程。

答案

解：设椭圆方程为
（Ⅰ）由已知得
∴所求椭圆方程为．
（Ⅱ）由题意知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由，消去y
得关于x的方程：（1+2k²）x²+8kx+6=0由直线l与椭圆相交于A、B两点，
∴△＞064k²﹣24（1+2k²）＞0解得
又由韦达定理得
∴
=
原点O到直线l的距离
∵．
对两边平方整理得：4S²k⁴+4（S²﹣4）k²+S²+24=0（*）
∵S≠0，
整理得：
又S＞0，∴
从而S_△AOB的最大值为，
此时代入方程（*）得4k⁴﹣28k²+49=0∴
所以，所求直线方程为：．