题目
题型:北京期中题难度:来源:
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(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C相交于A、B两点,以线段OA,OB为邻边作平行四边形OAPB,其中顶点P在椭圆C上,O为坐标原点.求O到直线距离的l最小值.
答案
解:(Ⅰ)由已知,,所以3a2=4b2,①
又点在椭圆C上,所以
,②
由①②解之,得a2=4,b2=3.故椭圆C的方程为.
(Ⅱ)当直线l有斜率时,设y=kx+m时,则由
消去y得,(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0,
△=64k2m2﹣4(3+4k2)(4m2﹣12)=48(3+4k2﹣m2)>0,
③设A、B、P点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x0,y0),则:,
由于点P在椭圆C上,所以.从而
,
化简得4m2=3+4k2,经检验满足③式.
又点O到直线l的距离为:.
当且仅当k=0时等号成立,当直线l无斜率时,由对称性知,点P一定在x轴上,
从而P点为(﹣2,0),(2,0),直线l为x=±1,
所以点O到直线l的距离为1,O到直线l的距离最小值为.
核心考点
试题【已知椭圆(a>b>0)经过点,其离心率为.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设直线l与椭圆C相交于A、B两点,以线段OA,OB为邻边作平行四边形OAPB,其中顶点P在】;主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]
举一反三
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(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知过点(0,2)且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点,求线段AB的长度.
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(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P、Q两点,求△F1PQ的面积.
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