题目

题型：四川省月考题难度：来源：

如图，已知直线L：x=my+1过椭圆C：的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线G：x=a²上的射影依次为点D，K，E，
（1）已知抛物线的焦点为椭圆C的上顶点．
①求椭圆C的方程；
②若直线L交y轴于点M，且，当m变化时，求λ₁+λ₂的值；
（2）连接AE，BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标并给予证明；否则说明理由．

答案

解：（1）①易知，
∴b²=3，
又F（1，0），∴c=1，a²=b²+c²=4
∴椭圆C的方程为
②∵l与y轴交于M
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由
∴（3m²+4）y²+6my﹣9=0，△=144（m²+1）＞0  ∴
又由，
∴∴
同理
∴
（2）∵F（1，0），k=（a²，0），
先探索，当m=0时，直线l ⊥Ox轴，则ABED由对称性知，AE与BD相交FK中点N，且
猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点
证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），E（a²，y₂），D（a²，y₁）
当m变化时首先AE过定点N
∵，即（a²+b²m²）y²+2mb²y+b²（1﹣a²）=0
又△=4a²b²（a²+m²b²﹣1）＞0（a＞1）
又K_AN=，
而K_AN﹣K_EN==
∴K_AN=K_EN，∴A、N、E三点共线，
同理可得B、N、D三点共线∴AE与BD相交于定点