题目
题型:期末题难度:来源:
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线AB的斜率为1,求四边形APBQ面积的最大值;
(3)当A、B运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.
答案
∵椭圆的一个顶点恰好是抛物线y2=的焦点,
∴a=
∵离心率等于,
∴,
∴c=1∴b=1
∴椭圆C的方程为;
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=x+t,
代入椭圆方程,消元可得3x2+4tx+2t2﹣2=0
由△>0,解得﹣<t<
由韦达定理得x1+x2=﹣t,x1x2=.
∵PQ过椭圆焦点且PQ⊥x轴,
∴|PQ|=
∴四边形APBQ的面积S=××|x1﹣x2|=×
∴t=0时,Smax=;
(3)当∠APQ=∠BPQ,则PA、PB的斜率之和为0,
设直线PA的斜率为k,则PB的斜率为﹣k,
PA的直线方程为y﹣=k(x﹣1),
与椭圆方程联立,消元可得(1+2k2)x2+(2k﹣4k2)x+k2﹣2k﹣1=0
∴x1+1=﹣
同理x2+1=﹣
∴x1+x2=,x1﹣x2=﹣
∴y1﹣y2=k(x1+x2)﹣2k=,x1﹣x2=﹣
∴
∴直线AB的斜率为定值.
核心考点
试题【已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线y2=的焦点.PQ过椭圆焦点且PQ⊥x轴,A、B是椭圆位于直线PQ两侧的两动点.(1)】;主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求椭圆E的方程;
(2)过x轴上一点M(m,0)(m≠-2)作一条不垂直于y轴的直线l交椭圆E于C、D点.
(i)若以CD为直径的圆恒过A点,求实数m的值;
(ii)若△ACD的重心恒在y轴的左侧,求实数m的取值范围.
(1)求椭圆C2的方程;
(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,,求直线AB的方程。
(2)设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,AF2与BF1交于点P。
(i)若AF1-BF2=,求直线AF1的斜率;
(ii)求证:PF1+PF2是定值。
(1)求椭圆的方程;
(2)过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M,N两点.求证:直线MN恒过定点P(0,﹣).
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