题目

题型：浙江省高考真题难度：来源：

已知椭圆C₁：（a＞b＞0）的右顶点为A（1，0），过C₁的焦点且垂直长轴的弦长为1。
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设点P在抛物线C₂：y=x²+h（h∈R）上，C₂在点P处的切线与C₁交于点M、N。当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值。

答案

解：（1）由题意，得
从而
因此，所求的椭圆方程为；（2）如图，设
则抛物线C₂在点P处的切线斜率为
直线MN的方程为：y=2tx-t²+h
将上式代入椭圆C₁的方程中，得4x²+（2tx-t²+h）²-4=0
即  ①
因为直线MN与椭圆C₁有两个不同的交点，
所以①式中的Δ=16[-t⁴+2（h+2）t²-h²+4] >0  ②
设线段MN的中点的横坐标是x₃，则

设线段PA的中点的横坐标是x₄，则
由题意，得x₃=x₄，即t²+（1+h）t+1=0  ③
 由③式中的Δ₂=（1+h）²-4≥0，得h≥1或h≤-3
当h≤-3时，h+2<0，4-h²<0，则不等式②不成立，
所以h≥1
当h=1时，代入方程③得t=-1
将h=1，t=-1代入不等式②，检验成立，
所以，h的最小值为1。