题目
题型:福建省高考真题难度:来源:
(2)若AB为垂直于x轴的动弦,直线l:x=4与x轴交于点N,直线AF与BN交于点M。
(i)求证:点M恒在椭圆C上;
(ii)求△AMN面积的最大值。
答案
解:(1)由题设a=2,c=1,从而b2=a2-c2=3,
所以椭圆C的方程为;
(2)(i)由题意得F(1,0),N(4,0)
设A(m,n),则B(m,-n)(n≠0),=1 ①
AF与BN的方程分别为:n(x-1)-(m-1)y=0,
n(x-4)-(m-4)y=0
设M(x0,y0),则有n(x0-1)-(m-1)y0=0,②
n(x0-4)+(m-4)y0=0,③
由②,③得
x0=,
由于
=1
所以点M恒在椭圆G上。
(ii)设AM的方程为x=ty+1,代入=1得(3t2+4)y2+6ty-9=0
设设A(x1,y1),M(x2,y2),则有
y1+y2=,
|y1-y2|=
令3t2+4=λ(λ≥4),
则|y1-y2|=
∵λ≥4,
∴当,即时
|y1-y2|有最大值3,此时AM过点F
△AMN的面积S△AMN=有最大值。
核心考点
试题【如图,椭圆C:(a>b>0)的一个焦点为F(1,0),且过点(2,0)。(1)求椭圆C的方程;(2)若AB为垂直于x轴的动弦,直线l:x=4与x轴交于点N,直线】;主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)当C2的准线与C1右准线间的距离为15时,求C1及C2的方程;
(Ⅱ)设过点F且斜率为1的直线l交C1于P,Q两点,交C2于M,N两点。当时,求|MN|的值。
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)过点(1,0)作直线交E于P、Q两点,试问在x轴上是否存在一定点M,使为定值?若存在,求出定点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线y=x与椭圆C在第一象限交于A点,若椭圆C上两点M、N使+=λ,λ∈(0,2)求△OMN面积的最大值。
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆M交于A,B两点,且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C,求△ABC面积的最大值.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过F1作不与x轴重合的直线l,l与圆x2+y2=a2+b2相交于A、B。并与椭圆相交于C、D,当=λ,且λ∈[,1]时,求△F2CD的面积S的取值范围。
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