题目
题型:安徽省模拟题难度:来源:
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(1)求椭圆C的方程;
(2)过圆O:
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①求证:OA⊥OB;
②求|AB|的取值范围。
答案
解:(1)设椭圆C的方程为
∵长轴长是短轴长的倍
∴椭圆方程为
∵在椭圆C上
∴椭圆C的方程为。
(2)①当切线l的斜率不存在时切线方程为
与椭圆的两个交点为
或
满足
当切线l斜率存在时,可设l的方程为y=kx+m
解方程组
得x2+2(kx+m)2=8,
即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8 =0,
则Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8) =8(8k2-m2+4)>0,
即8k2-m2+4>0
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=
∵l与圆相切
∴
∴3m2=8k2+8
∴=
∴OA⊥OB。
②由①可知(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=
=
当k≠0时,|AB|=
因为
所以
所以
所以
当且仅当时取“=”,
当k=0时,
当AB的斜率不存在时,两个交点为或
所以此时
综上,|AB|的取值范围为
即。
核心考点
试题【已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的倍且经过点。(1)求椭圆C的方程;(2)过圆O:上的任意一点作圆的一条切线交椭圆C于A、B两点, ①求证:】;主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]
举一反三
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(1)求椭圆C的方程;
(2)若PQ为过椭圆焦点F2的弦,且
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(1)求椭圆方程;
(2)求m的取值范围。
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(2)过F1、F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、 E、M、N四点(如图所示),试求四边形DMEN面积的最大值和最小值。
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(1)求椭圆C1的方程;
(2)平面上的点N满足
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(1)求动点Q的轨迹方程;
(2)已知点E(1,1),在动点Q的轨迹上是否存在不重合的两点M,N,使
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