题目

题型：专项题难度：来源：

已知椭圆C的中心在原点，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率，且经过点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l经过椭圆C的右焦点F₂，且与椭圆C交于A，B两点，使得|F₁A|，|AB|，|BF₁|依次成等差数列，求直线l的方程。

答案

解：（1）设椭圆C的方程为（其中a>b>0），
由题意知，且
解得a²=4，b²=2，c²=2，
所以椭圆C的方程为。
（2）由于|F₁A|，|AB|，|BF₁|依次成等差数列，
则|F₁A|+|BF₁|=2|AB|，
而|F₁A|+|AB|+|BF₁|=4a=8，
所以|AB|=
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=
代入椭圆C的方程
化简，得
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则
又
 

解得k=±1；
当直线l的斜率不存在时，，代入椭圆方程，得y=±1，
∴|AB|=2，不合题意，
所以，直线l的方程为。