题目

题型：上海模拟题难度：来源：

在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆C：(a＞b＞0)的右焦点为F，过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R，S，若线段RS的长为，
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)若椭圆C上存在两个不同的点关于直线l：y=9x+m对称，求实数m的取值范围；
(Ⅲ)若P为椭圆C在第一象限的动点，过点P作圆x²+y²=5的两条切线PA，PB，切点为A，B，直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，求△MON（O为坐标原点）面积的最小值。

答案

解：（Ⅰ）依题意，椭圆过点，
故，解得，
椭圆C的方程为；
（Ⅱ）设D，E是椭圆C上关于直线l：y=9x+m对称的两点，
可设直线DE的方程为，
代入椭圆C的方程，得，
由Δ＞0得，
线段DE的中点G的坐标为，
点G在直线l上，故，解得，
把代入，解得；
（Ⅲ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
则直线PA的方程为x₁x+y₁y=5，
直线PB的方程为x₂x+y₂y=5，
直线PA，PB均过点P，故x₁x₀+y₁y₀=5，x₂x₀+y₂y₀=5，
因此，直线AB的方程为x₀x+y₀y=5，
故，
△MON的面积，
而，所以，
当且仅当时等号成立，
此时，，即△MON面积的最小值为。