题目

题型：0101 期中题难度：来源：

设椭圆M：(a＞b＞0)的离心率为，长轴长为6，设过右焦点F，
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设过右焦点F倾斜角为θ的直线交椭M于A，B两点，求证|AB|=。

答案

解：（Ⅰ），
所求椭圆M的方程为；
（Ⅱ）当θ≠，设直线AB的斜率为k=tanθ，焦点F(3，0)，
则直线AB的方程为y=k(x-3) ，
有(1+2k²)x²-12k²x+18(k²-1)=0，
设点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂) ，
有x₁+x₂=，x₁x₂=，
|AB|=，**
又因为k=tanθ=代入**式得
|AB|=；
当θ=时，直线AB的方程为x=3，此时|AB|=；
而当θ=时，|AB|==；
综上所述，所以|AB|=。