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题目
题型:不详难度:来源:
已知椭圆的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),离心率e=


2
2
,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,过椭圆的左焦点F1且垂直于长轴的直线交椭圆于M、N两点,且|MN|=


2

(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知直线l与椭圆相交于P,Q两点,O为原点,且OP⊥OQ.试探究点O到直线l的距离是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.
答案
(Ⅰ)因为e=


2
2
,所以
c
a
=


2
2
    ①
因为过椭圆的左焦点F1且垂直于长轴的直线交椭圆于M、N两点,且|MN|=


2

经计算得
2b2
a
=


2
    ②
由a2=b2+c2,解①②得
a=


2
,b=1,c=1,
所以椭圆的方程为
x2
2
+y2=1

(Ⅱ)1°当直线l的斜率存在时,
设直线l的方程为y=kx+m,点P(x1,y1),Q(x2,y2),





x2
2
+y2=1
y=kx+m
,联立得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0
所以△=8(2k2+1-m2)>0
x1+x2=-
4km
2k2+1
x1x2=
2m2-2
2k2+1

于是y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=
m2-2k2
2k2+1

因为OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2=0
3m2-2k2-2
2k2+1
=0

所以m2=
2k2+2
3

此时△=
8(4k2+1)
3
>0
满足条件,
设原点O到直线l的距离为d,
d=
|m|


k2+1
=


2k2+2
3
k2+1
=


6
3

2°当直线l的斜率不存在时,
因为OP⊥OQ,根据椭圆的对称性,不妨设直线OP、OQ的方程分别为y=x,y=-x,
可得P(


6
3


6
3
)
Q(


6
3
,-


6
3
)
P(-


6
3
,-


6
3
)
Q(-


6
3


6
3
)

此时原点O到直线l的距离仍为


6
3

综上可得,原点O到直线l的距离为


6
3
核心考点
试题【已知椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),离心率e=22,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,过椭圆的左焦点F1且垂直于长轴的直线交椭圆于M、N两点,】;主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]
举一反三
在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段,D为垂足,点M在线段PD上,且|DP|=


2
|DM|,点P在圆上运动.
(Ⅰ)求点M的轨迹方程;
(Ⅱ)过定点C(-1,0)的直线与点M的轨迹交于A、B两点,在x轴上是否存在点N,使


NA


NB
为常数,若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
设椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率e=
1
2
,右焦点到直线
x
a
+
y
b
=1的距离d=


21
7
,O为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于A,B两点,证明点O到直线AB的距离为定值.并求出定值.
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在平面直角坐标系xoy中,椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>0,b>0)经过点A(


6
2


2
),且点F(0,-1)为其一个焦点.   
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设椭圆E与y轴的两个交点为A1,A2,不在y轴上的动点P在直线y=b2上运动,直线PA1,PA2分别与椭圆E交于点M,N,证明:直线MN通过一个定点,且△FMN的周长为定值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆,其离心率e=


2
2
,且经过抛物线x2=4y的焦点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若过点B(2,0)的直线l与椭圆交于不同的亮点E、F(E在B、F之间)且


BE


BF
,试求实数λ的取值范围.魔方格
题型:淄博一模难度:| 查看答案
已知点(x,y)在曲线C上,将此点的纵坐标变为原来的2倍,对应的横坐标不变,得到的点满足方程x2+y2=8;定点M(2,1),平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0),直线l与曲线C交于A、B两个不同点.
(1)求曲线C的方程;
(2)求m的取值范围.
题型:惠州模拟难度:| 查看答案
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