题目
题型:宿松县三模难度:来源:
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A,B,求证:∠AFM=∠BFN;
(3)(理)求三角形ABF面积的最大值.
答案
∵|PM|=2|MF|,
∴
a2 |
c |
∴a2-ac=2ac-2c2,
∴2e2-3e+1=0,
解得e=
1 |
2 |
∴c=2,b2=a2-c2=12,
∴椭圆的标准方程为
x2 |
16 |
y2 |
12 |
(2)当AB的斜率为0时,显然∠AFM=∠BFM=0,满足题意.
当AB方程为x=my-8,代入椭圆方程整理得
(3m2+4)y2-48my+144=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=
48m |
3m2+4 |
144 |
3m2+4 |
∴KAF+KBF=
y1 |
x1+2 |
y2 |
x2+2 |
y1 |
m1-6 |
y2 |
my2-6 |
=
2my1y2-6(y1+y2) | ||
(my1-6)(m
|
=
| ||||
(my1-6)(my2-6) |
∴KAF+KBF=0,从而∠AFM=∠BFN 综上可知,恒有∠AFM=∠BFN.
(3)(理)∵P(-8,0),F(-2,0),∴|PF|=6,
∴|y2-y1|=
(y1+y2)2-4y1y2 |
=
(
|
=
24
| ||
3m2+4 |
∴S△ABF=S△PBF-S△PAF
=
1 |
2 |
1 |
2 |
=
1 |
2 |
=
72
| ||
3m2+4 |
72
| ||
3(m2-4)+16 |
=
72 | ||||||
3
|
≤
72 | ||
2
|
3 |
当且仅当3
m2-4 |
16 | ||
|
即m2=
28 |
3 |
∴三角形ABF面积的最大值是3
3 |
核心考点
试题【如图,设F是椭圆:C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,直线l为其左准线,直线l与x轴交于点P,线段MN为椭圆的长轴,已知|MN|=8,且|PM|=】;主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]
举一反三
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
| ||
2 |
PF1 |
PF2 |
3 |
4 |
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点S(-
6 |
5 |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
(I)求椭圆的方程;
(II)过定点M(m,0)(-2<m<2,m≠0为常数)作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆交于不同的两点A.B,问在x轴上是否存在一点N,使直线NA与NB的倾斜角互补?若存在,求出N点坐标,若不存在,请说明理由.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
1 |
3 |
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设双曲线C2:
x2 |
m2 |
y2 |
n2 |
OA |
1 |
2 |
OB |
2 |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
(1)求椭圆E的方程.
(2)若动点T(t,0)在椭圆E长轴上移动,点T关于直线y=-x+
1 |
t2+1 |
n |
m |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
3 |
(I)求椭圆C的方程;
(II)已知P(x0,y0)是以线段F1F2为直径的圆上一点,且x0>0,y0>0,求过P点与该圆相切的直线l的方程;
(III)若直线l与椭圆交于A、B两点,设△AF1F2,△BF1F2的重心分别为G、H,请问原点O在以线段GH为直径的圆内吗?若在请说明理由.
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