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题目
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=mx-2+


2
-1
(m>0,m≠1)的图象恒通过定点(a,b).设椭圆E的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0).
(1)求椭圆E的方程.
(2)若动点T(t,0)在椭圆E长轴上移动,点T关于直线y=-x+
1
t2+1
的对称点为S(m,n),求
n
m
的取值范围.
答案
(1)∵当x=2时,f(2)=m2-2+


2
-1=


2

∴函数f(x)的图象通过定点(2,


2
)

a=2,b=


2
.

所求椭圆的方程为
x2
4
+
y2
2
=1

(2)∵点T与点S关于直线y=-x+
1
t2+1
对称,





n
m-t
=1
n
2
=-
m+t
2
+
1
t2+1

解方程组得





m=
1
t2+1
n=
1
t2+1
-t

ϕ(t)=
n
m
=-t3-t+1(t∈[-2,2])

∵ϕ′(t)=-2t2-1<0,
∴ϕ(t)在区间[-2,2]上是减函数.
∵ϕ(-2)=11,ϕ(2)=-9,
n
m
的取值范围是[-9,11].
核心考点
试题【已知函数f(x)=mx-2+2-1(m>0,m≠1)的图象恒通过定点(a,b).设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).(1)求椭圆E的方程.(2】;主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的上项点为B1,右、右焦点为F1、F2,△B1F1F2是面积为


3
的等边三角形.
(I)求椭圆C的方程;
(II)已知P(x0,y0)是以线段F1F2为直径的圆上一点,且x0>0,y0>0,求过P点与该圆相切的直线l的方程;
(III)若直线l与椭圆交于A、B两点,设△AF1F2,△BF1F2的重心分别为G、H,请问原点O在以线段GH为直径的圆内吗?若在请说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
设椭圆M:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的离心率为


2
2
,长轴长为6


2
,设过右焦点F倾斜角为θ的直线交椭圆M于A,B两点.
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(2)设过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C,D,求|AB|+|CD|的最小值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1 ( a>b>0 )
,它的一个顶点为M(0,1),离心率e=


6
3

(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l与椭圆交于A,B两点,坐标原点O到直线l的距离为


3
2
,求△AOB面积的最大值.
题型:重庆模拟难度:| 查看答案
设直线l:y=x+1与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
相交于A、B两个不同的点,与x轴相交于点F.
(Ⅰ)证明:a2+b2>1;
(Ⅱ)若F是椭圆的一个焦点,且


AF
=2


FB
,求椭圆的方程.
题型:西城区二模难度:| 查看答案
已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的长轴长为4,离心率为
1
2
,F1、F2分别为其左右焦点.一动圆过点F2,且与直线x=-1相切.
(Ⅰ)(ⅰ)求椭圆C1的方程; (ⅱ)求动圆圆心C轨迹的方程;
(Ⅱ)在曲线上C有两点M、N,椭圆C1上有两点P、Q,满足MF2


NF2
共线,


PF2


QF2
共线,且


PF2


MF2
=0,求四边形PMQN面积的最小值.
题型:三门峡模拟难度:| 查看答案
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