题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，其左、右焦点为F₁、F₂，点P是坐标平面内一点，且|OP|=

15

2

，

PF1

•

PF2

=

3

4

，其中O为坐标原点．Q为椭圆的左顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点S（-

6

5

，0），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，是否存在直线l，使得VQAB为等腰三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

答案

（1）设P（x₀，y₀），∵|OP|=

15

2

，∴x02+y02=

15

4

①
又

PF1

•

PF2

=

3

4

，∴(-c-x0，-y0)•(c-x0，-y0)=

3

4

，即x02-c2+y02=

3

4

②
①代入②得：c=

3

．又e=

3

2

，∴a=2，b=1．
故所求椭圆方程为

x2

4

+y2=1；
（2）直线l的方程为y=k(x+

6

5

)，
联立

y=k(x+ 6 5 ) x2 4 +y2=1

，得（25+100k²）x²+240k²x+144k²-100=0．
x1+x2=-

240k2

25+100k2

，x1x2=

144k2-100

25+100k2

．
设AB的中点M（x₀，y₀），
则x0=-

120k2

25+100k2

，y0=k(

6

5

-

120k2

25+100k2

)=

30k

25+100k2

．
所以kMQ=

30k 25+100k2

2- 120k2 25+100k2

=

3k

5+8k2

．
若三角形QAB为等腰三角形，则MQ⊥AB，
即

3k

5+8k2

•k=-1，此式无解，
所以使得△QAB为等腰三角形的直线l不存在．