已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=32，且点P（-2，0）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知A、B为椭圆C上的动点，当PA⊥PB时， - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=

，且点P（-2，0）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知A、B为椭圆C上的动点，当PA⊥PB时，求证：直线AB恒过一个定点．并求出该定点的坐标．

答案

（1）设椭圆的方程为：

=1(a＞b＞0)，
由题意得

，a=2，所以c=

，
又b²=a²-c²=1，
所以椭圆的方程为：

+y2=1；
（2）①当直线l不垂直于x轴时，设AB：y=kx+m，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
由

x2+4y2=4

y=kx+m

，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1x2=

4(m2-1)

1+4k2

，

•

=(x^+2)(x2+2)+y1y2=(1+k2)x1x2+(2+km)(x1+x2)+m2+4=(1+k2)

4(m2-1)

1+4k2

+(2+km)

-8km

1+4k2

+m2+4=0，
∴12k²+5m²-16km=0，即（6k-5m）（2k-m）=0，解得m=

k或m=2k，
当m=

k时，AB：y=kx+

k恒过定点(-

，0)；
当m=2k时，AB：y=kx+2k恒过定点（-2，0），不符合题意舍去；
②当直线l垂直于x轴时，直线AB：x=-

，则AB与椭圆C相交于A(-

，-

)，B(-

，

)，
∴

•

，-

)•(

，

)=(

)2+(-

)(

)=0，∵PA⊥PB，满足题意，
综上可知，直线AB恒过定点，且定点坐标为(-

，0)．

核心考点

试题【已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=32，且点P（-2，0）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知A、B为椭圆C上的动点，当PA⊥PB时，】；主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知椭圆C：

=1的两个焦点分别是F₁（-1，0）、F₂（1，0），且焦距是椭圆C上一点p到两焦点F₁，F₂距离的等差中项．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设经过点F₂的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点Q（x₀，y₀），求y₀的取值范围．

题型：杨浦区一模难度：| 查看答案

已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）经过点M(1，

)，其离心率为

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m (|k|≤

)与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点．求|OP|的取值范围．

题型：海淀区一模难度：| 查看答案

已知椭圆E：

=1（a，b＞0）与双曲线G：x²-y²=4，若椭圆E的顶点恰为双曲线G的焦点，椭圆E的焦点恰为双曲线G的顶点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）是否存在一个以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且

⊥

？若存在请求出该圆的方程，若不存在请说明理由．

题型：不详难度：| 查看答案

已知椭圆的中心在原点O，短半轴的端点到其右焦点F（2，0）的距离为

，过焦点F作直线l，交椭圆于A，B两点．
（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若椭圆上有一点C，使四边形AOBC恰好为平行四边形，求直线l的斜率．

题型：通州区一模难度：| 查看答案

已知椭圆E：

=1(a＞b＞0)的左焦点F1(-

，0)，若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF₁相切于线段DF₁的中点F．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）已知两点Q（-2，0），M（0，1）及椭圆G：

9x2

=1，过点Q作斜率为k的直线l交椭圆G于H，K两点，设线段HK的中点为N，连接MN，试问当k为何值时，直线MN过椭圆G的顶点？
（Ⅲ）过坐标原点O的直线交椭圆W：

9x2

2a2

4y2

=1于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长交椭圆W于B，求证：PA⊥PB．

题型：不详难度：| 查看答案

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