题目
题型:不详难度:来源:
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
5 |
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)已知两点Q(-2,0),M(0,1)及椭圆G:
9x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
(Ⅲ) 过坐标原点O的直线交椭圆W:
9x2 |
2a2 |
4y2 |
b2 |
答案
(Ⅰ)连接DF2,FO(O为坐标原点,F2为右焦点),
由题意知:椭圆的右焦点为F2(
5 |
因为FO是△DF1F2的中位线,且DF1⊥FO,
所以|DF2|=2|FO|=2b,
所以|DF1|=2a-|DF2|=2a-2b,
故|FF1|=
1 |
2 |
在Rt△FOF1中,|FO|2+|FF1|2=|F1O|2
即b2+(a-b)2=c2=5,又b2+5=a2,解得a2=9,b2=4,
所求椭圆E的方程为
x2 |
9 |
y2 |
4 |
(Ⅱ) 由(Ⅰ)得椭圆G:x2+
y2 |
4 |
设直线l的方程为y=k(x+2)并代入x2+
y2 |
4 |
整理得:(k2+4)x2+4k2x+4k2-4=0
由△>0得:-
2 |
3 |
3 |
2 |
3 |
3 |
设H(x1,y1),K(x2,y2),N(x0,y0)
则由中点坐标公式得:
|
①当k=0时,有N(0,0),直线MN显然过椭圆G的两个顶点(0,-2),(0,2).…(7分)
②当k≠0时,则x0≠0,直线MN的方程为y=
y0-1 |
x0 |
此时直线MN显然不能过椭圆G的两个顶点(0,-2),(0,2);
若直线MN过椭圆G的顶点(1,0),则0=
y0-1 |
x0 |
所以
-2k2 |
k2+4 |
8k |
k2+4 |
2 |
3 |
若直线MN过椭圆G的顶点(-1,0),则0=-
y0-1 |
x0 |
所以
-2k2 |
k2+4 |
8k |
k2+4 |
解得:k=-4+2
5 |
5 |
综上,当k=0或k=
2 |
3 |
5 |
(Ⅲ)法一:由(Ⅰ)得椭圆W的方程为
x2 |
2 |
根据题意可设P(m,n),则A(-m,-n),C(m,0)
则直线AC的方程为y+n=
n |
2m |
过点P且与AP垂直的直线方程为y-n=-
m |
n |
①×②并整理得:
x2 |
2 |
m2 |
2 |
又P在椭圆W上,所以
m2 |
2 |
所以
x2 |
2 |
即①、②两直线的交点B在椭圆W上,所以PA⊥PB.…(14分)
法二:由(Ⅰ)得椭圆W的方程为
x2 |
2 |
根据题意可设P(m,n),则A(-m,-n),C(m,0),
∴kPA=
n |
m |
n |
2m |
所以直线AC:y=
n |
2m |
|
化简得(1+
n2 |
2m2 |
n2 |
m |
n2 |
2 |
所以xA+xB=
2mn2 |
2m2+n2 |
因为xA=-m,所以xB=
2m3+3mn2 |
2m2+n2 |
n |
2m |
n |
2 |
n3 |
2m2+n2 |
所以kPB=
| ||
|
m |
n |
核心考点
试题【已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1(-5,0),若椭圆上存在一点D,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF1相切于线段DF1的中点F.(Ⅰ】;主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]
举一反三
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
3 |
4
| ||
5 |
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆的动弦CD交l0于M,若M为线段CD的中点,线段CD的中垂线和x轴交点为N(n,0),试求n的范围.
| ||
2 |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
PF1 |
PF2 |
4 |
3 |
4 |
3 |
(Ⅰ)求此椭圆的方程;
(Ⅱ)点A是椭圆的右顶点,直线y=x与椭圆交于B、C两点(C在第一象限内),又P、Q是椭圆上两点,并且满足(
| ||
|
|
| ||
|
|
F1F2 |
PQ |
AB |
2 |
2 |
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在斜率k≠0的直线l:y=kx-2,使直线l与椭圆相交于不同的两点M,N满足|
AM |
AN |
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