若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为22，且OA⊥OB，求椭圆的方程． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

若椭圆ax²+by²=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为

，且OA⊥OB，求椭圆的方程．

答案

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（

x1+x2

，

y1+y2

）．
∴（a+b）x2-2bx+b-1=0．
由x+y=1，ax²+by²=1，
∴

x1+x2

a+b

，

y1+y2

=1-

x1+x2

a+b

．
∴M（

a+b

，

a+b

）．
∵k_OM=

，∴b=

a．①
∵OA⊥OB，∴

•

=-1．
∴x₁x₂+y₁y₂=0．
∵x₁x₂=

b-1

a+b

，y₁y₂=（1-x₁）（1-x₂），
∴y₁y₂=1-（x₁+x₂）+x₁x₂
=1-

a+b

b-1

a+b

a-1

a+b

．
∴

b-1

a+b

a-1

a+b

=0．
∴a+b=2．②
由①②得a=2（

-1），b=2

（

-1）．
∴所求方程为2（

-1）x²+2

（

-1）y²=1．

核心考点

试题【若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为22，且OA⊥OB，求椭圆的方程．】；主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知F₁、F₂分别是椭圆

=1 (a＞b＞0)的左、右焦点，P是此椭圆上的一动点，并且

PF1

•

PF2

的取值范围是[-

，

]．
（Ⅰ）求此椭圆的方程；
（Ⅱ）点A是椭圆的右顶点，直线y=x与椭圆交于B、C两点（C在第一象限内），又P、Q是椭圆上两点，并且满足(

)•

F1F2

=0，求证：向量

与

共线．

题型：上海模拟难度：| 查看答案

椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为A（0，2），右焦点F与点B(

，

)的距离为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在斜率k≠0的直线l：y=kx-2，使直线l与椭圆相交于不同的两点M，N满足|

| = |

|，若存在，求直线l的倾斜角α；若不存在，说明理由．

题型：不详难度：| 查看答案

设A，B分别为椭圆

=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x=4为它的右准线．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点P为椭圆上不同于A，B的一个动点，直线PA，PB与椭圆右准线相交于M，N两点，在x轴上是否存在点Q，使得

•

=0，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

题型：孝感模拟难度：| 查看答案

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为

，且经过点M(1，

)，过点P（2，1）的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存直线l，满足

•

2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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已知△ABC中，A、B的坐标分别为（0，2）和（0，-2），若三角形的周长为10，则顶点C的轨迹方程是（　　）

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