题目

题型：不详难度：来源：

如图，设抛物线c₁：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F₁，焦点为F₂，以F₁、F₂为焦点，离心率e=

1

2

的椭圆c₂与抛物线c₁在x轴上方的一个交点为P．
（1）当m=1时，求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，直线l经过椭圆c₂的右焦点F₂，与抛物线c₁交于A₁、A₂，如果以线段A₁A₂为直径作圆，试判断点P与圆的位置关系，并说明理由；
（3）是否存在实数m，使得△PF₁F₂的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m；若不存在，请说明理由．

答案

∵c₁：y²=4mx的右焦点F₂（m，0）
∴椭圆的半焦距c=m，又e=

1

2

，
∴椭圆的长半轴的长a=2m，短半轴的长b=

3

m．
椭圆方程为

x2

4m2

+

y2

3m2

=1．
（1）当m=1时，故椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1，（3分）
（2）依题意设直线l的方程为：x=ky+1，k∈R
联立

y2=4x x2 4 + y2 3 =1

得点P的坐标为P(

2

3

，

2 6

3

)．
将x=ky+1代入y²=4x得y²-4ky-4=0．
设A₁（x₁，y₁）、A₂（x₂，y₂），由韦达定理得y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4．
又

PA1

=(x1-

2

3

，y1-

2 6

3

)，

PA2

=(x2-

2

3

，y2-

2 6

3

)．

PA1

•

PA2

=x1x2-

2

3

(x1+x2)+

4

9

+y1y2-

2 6

3

(y1+y2)+

24

9

=-

24k2+24 6 k+11

9

=-

24(k+ 6 2 )2-25

9

．
∵k∈R，于是

PA1

•

PA2

的值可能小于零，等于零，大于零．
即点P可在圆内，圆上或圆外．（8分）
（3）假设存在满足条件的实数m，
由

y2=4mx x2 4m2 + y2 3m2 =1

解得：P(

2

3

m，

2 6

3

m)．
∴|PF2|=

2

3

m+m=

5

3

m，|PF1|=4m-|PF2|=

7

3

m，又|F1F2|=2m=

6

3

m．
即△PF₁F₂的边长分别是

5

3

m、

6

3

m、

7

3

m．
∴m=3时，能使△PF₁F₂的边长是连续的自然数．（14分）