题目
题型:四川省模拟题难度:来源:
(Ⅰ)试确定A1P:PB的值,使得PC⊥AB;
(Ⅱ)若A1P:PB=2:3,求二面角P-AC-B的大小;
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答案
解:【法一】(Ⅰ)当PC⊥AB时,作P在AB上的射影D. 连结CD.
则AB⊥平面PCD,
∴AB⊥CD,∴D是AB的中点,
又PD∥AA1,∴P也是A1B的中点,即.
反之当A1P:PB=1时,取AB的中D′,连接CD′、PD′.
∵△ABC为正三角形,∴CD′⊥AB.
由于P为A1B的中点时,PD′∥A1A
∵AA1⊥平面ABC,∴PD′⊥平面ABC,
∴PC⊥AB
(Ⅱ)当A1P:PB=2:3时,作P在AB上的射影D.
则PD⊥底面ABC.作D在AC上的射影E,连结PE,
则PE⊥AC.∴为二面角P-AC-B的平面角.
又∵PD∥AA1,∴,
∴.∴
,
又∵,∴
.∴
,
∴P-AC-B的大小为
【法二】以A为原点,AB为x轴,过A点与AB垂直的直线为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,如图所示,
设,则
、
、
.
(Ⅰ)由得
,即
,
∴,即P为A1B的中点,也即
时,PC⊥AB
(Ⅱ)当时,P点的坐标是
. 取
.
则,
.
∴是平面PAC的一个法向量.
又平面ABC的一个法向量为.
∴,
∴二面角P-AC-B的大小是60°
核心考点
试题【如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1各棱长都为a,P为线段A1B上的动点.(Ⅰ)试确定A1P:PB的值,使得PC⊥AB;(Ⅱ)若A1P:PB=2:3,求二面角】;主要考察你对二面角等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)证明:EM⊥BF;
(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.
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DC上一点,BD=BC=2AE=2.
(1)求证:
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(2)当
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(Ⅰ) 求证:平面BCE⊥平面CDE;
(Ⅱ) 求二面角B-EF-D的余弦值.
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(1)证明:EM⊥BF;
(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的大小.
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