题目
题型:浙江省模拟题难度:来源:
(1)证明:EM⊥BF;
(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的大小.
答案
解:(法一)(1)证明:∵EA⊥平面ABC,BM平面ABC,
∴EA⊥BM.又∵BM⊥AC,EA∩AC=A,
∴BM⊥平面ACFE,而EM?平面ACFE,
∴BM⊥EM.∵AC是圆O的直径,∴∠ABC=90°.
又∵∠BAC=30°,AC=4,
∴AB=BC=2,AM=3,CM=1.
∵EA⊥平面ABC,FC∥EA,
∴FC⊥平面ABCD
∴∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形.
∴∠EMA=∠FMC=45°.
∴∠EMF=90°,即EM⊥MF(也可由勾股定理证得).
∵MF∩BM=M,∴EM⊥平面MBF.而BF平面MBF,
∴EM⊥BF.
(2)延长EF交AC于G,连BG,过C作CH⊥BG,连接FH.
由(1)知FC⊥平面ABC,BG?平面ABC,
∴FC⊥BG.而FC∩CH=C,
∴BG⊥平面FCH.∵FH?平面FCH,
∴FH⊥BG,∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角
在Rt△ABC中,∵∠BAC=30°,AC=4,
∴BM=AB·sin30°= .
由,得GC=2.
∵BG=.2
又又∵△GCH~△GBM,∴,则.
∴△FCH是等腰直角三角形,∠FHC=45°.
∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为
(法二)(1)同法一,得AM=3,BM=.如图,以A为坐标原点,垂直于AC、AC、AE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
由已知条件得,
∴.
由,得,
∴EM⊥BF.
(2)由(1)知.
设平面BEF的法向量为,
由 得,
令得y=1,z=2,∴,
由已知EA⊥平面ABC,所以取面ABC的法向量为,
设平面BEF与平面ABC所成的锐二面角为,
则∴
∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角为.
核心考点
试题【如图,AC是圆O的直径,点B在圆O上,,BM⊥AC交AC于点M,EA⊥平面ABC,FC∥EA,AC=4,EA=3,FC=1.(1)证明:EM⊥BF;(2)求平面】;主要考察你对二面角等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求异面直线AD与BC所成角大小;
(2)求二面角B-AC-D平面角的大小;
(3)求四面体ABCD外接球的体积。
(Ⅰ)试证:CD⊥平面BEF;
(Ⅱ)设PA=k·AB,且二面角E-BD-C的平面角大于30°,求k的取值范围.
(Ⅰ) 当SE=3ED时,求证:SD⊥平面AEC;
(Ⅱ) 当二面角S-AC-E的大小为时,求直线AE与平面CDE所成角的正弦值.
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