题目

题型：不详难度：来源：

在四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长2的正三角形且与底面ABCD垂直，底面ABCD是面积为2

3

的菱形，∠ADC为锐角．
（1）求证：PA⊥CD
（2）求二面角P-AB-D的大小．

答案

（Ⅰ）过P作PE⊥CD于E连接AE
∵侧面PDC⊥底面ABCD，PE⊂侧面PDC，且PE⊥CD，
∴PE⊥底面ABCD
∵2×

1

2

AD•DCsin∠ADE=2

3

∴∠ADC=

π

3

故△ADC是边长为2的等边三角形
∵E为DC的中点，∴AE⊥CD
∴PA⊥CD
（Ⅱ）∵PA⊥CD，AE⊥CD，CD∥AB，∴PA⊥AB．AE⊥AB，
∴∠PAE就是二面角P-AB-D的平面角
∵△ADC和△PDC都是边长为2的正三角形，
∴PE=AE，又∵PE⊥AE，
∴∠APE=45°即二面角P-AB-D的大小为45°．