题目

题型：山东省模拟题难度：来源：

如图分别为三棱锥S-ABC的直观图与三视图，在直观图中，SA=SC，M，N分别为AB，SB的中点，
(1)求证：AC⊥SB；
(2)求二面角M-NC-B的余弦值．

答案

解：由题意知SA=SC=，侧面SAC⊥底面ABC，
底面△ABC为正三角形，
(1)如图，取AC的中点O，连接OS，OB，
因为SA=SC，AB=BC，
所以AC⊥SA，AC⊥OB，
又SO∩BO=O，
所以AC⊥平面OSB，
所以AC⊥SB。
(2)如图所示建立空间直角坐标系O-xyz，
则A(2，0，0)，，C(-2，0，0)，
，
所以，，
，
设n=(x，y，z)为平面CMN的法向量，
则，取z=1，得，
所以，
设m=(a，b，c)为平面NBC的法向量，
由，得，
令c=1，则，
所以，
所以二面角M-NC-B的余弦值为-。