题目

题型：湖南难度：来源：

设函数f（x）=x（x-a）²，
（I）证明：a＜3是函数f（x）在区间（1，2）上递减的必要而不充分的条件；
（II）若x∈[0，|a|+1]时，f（x）＜2a²恒成立，且f（0）=0，求实数a的取值范围．

答案

（I）∵f（x）在区间（1，2）上递减，
∴其导函数f"（x）=3x²-4ax+a²≤0在区间（1，2）上恒成立．
∴

f′(1)≤0 f′(2)≤0

⇒

a2-4a+3≤0 a2-8a+12≤0

⇒

1≤a≤3 2≤a≤6

⇒2≤a≤3⇒a≤3
故a≤3是函数f（x）在区间（1，2）上递减的必要而不充分的条件
解法二：f"（x）=3x²-4ax+a²=（3x-a）（x-a）≤0在区间（1，2）上恒成立，
∴a只能大于0，∴

a

3

＜x＜a，∴

a 3 ≤ 1 a≥2

∴2≤a≤3⇒a≤3
故a≤3是函数f（x）在区间（1，2）上递减的必要而不充分的条件
（II）∵f（x）=x（x-a）²f′(x)=3(x-a)(x-

a

3

)
当a＞0时，函数y=f（x）在（-∞，

a

3

）上递增，
在(

a

3

，a)上递减，在(

a

3

，+∞)上递增，
故有

f( a 3 )＜2a2 f(a+1)＜2a2

⇒1＜a＜

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2

当a＜0时，函数y=f（x）在(

a

3

，+∞)上递增，
∴只要f（1-a）＜2a²⇒4a³-6a²+5a-1＞0
令g（a）=4a³-6a²+5a-1，
则g′(a)=12a2-12a+5=12(a-

1

2

)2+2＞0
所以g（a）在（-∞，0）上递增，
又g（0）=-1＜0∴f（1-a）＜2a²不能恒成立
故所求的a的取值范围为1＜a＜

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