题目

题型：北京高考真题难度：来源：

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）若二面角C₁-BD-C的大小为60°，求异面直线BC₁与AC所成角的大小。

答案

（Ⅰ）证明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，
∴CC₁⊥平面ABCD，∴BD⊥CC₁，
∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
又∵AC，CC₁平面ACC₁A₁，且AC∩CC₁=C，
∴BD⊥平面ACC₁A₁。 （Ⅱ）解：设BD与AC相交于O，连接C₁O，
∵CC₁⊥平面ABCD，BD⊥AC，
∴BD⊥C₁O，
∴∠C₁OC是二面角C₁-BD-C的平面角，
∴∠C₁OC=60°，连接A₁B，
∵A₁C₁∥AC，
∴∠A₁C₁B是BC₁与AC所成角，
设BC=a，则CO=，CC₁=CO·tan60°=，
A₁B=BC₁=，A₁C₁=，
在△A₁BC₁中，
由余弦定理得cosA₁C₁B=，
∴∠A₁C₁B=arccos，
∴异面直线BC₁与AC所成角的大小为arccos。