题目

题型：0110 期中题难度：来源：

在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=DC，E为PD中点。
（1）求证：AE∥平面PBC；
（2）求证：AE⊥平面PDC。

答案

证明：（1）取PC的中点F，连接BF，EF，
在三角形PCD中，因为E，F是中点，
∴EF∥CD，EF=CD，
而AB∥CD，AB=CD，
所以四边形ABFE为平行四边形，
∴AE∥BF，
又∵BF面BPC，AE面BPC，
∴AE∥面BPC。
（2）∵AB⊥面BPC，AB∥CD，
∴CD⊥面BPC，
又∵BF面BPC，
∴CD⊥BF，
又因为△PBC是正三角形，F为PC的中点，
∴BF⊥PC，而PC∩CD=C，PC面DPC，CD面DPC，
∴BF⊥面DPC，
∵AE∥BF，
∴AE⊥面DPC。