题目

题型：不详难度：来源：

如图，四棱锥P—ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，侧面PDC是边长为a的正
三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC的中点。
        （I）求异面直线PA与DE所成的角；        （II）求点D到面PAB的距离.

答案

（Ⅰ）（Ⅱ）

解析

（1）解法一：连结AC，BD交于点O，连结EO.
∵四边形ABCD为正方形，∴AO=CO，又∵PE=EC，∴PA∥EO，
∴∠DEO为异面直线PA与DE所成的角……………………3分
∵面PCD⊥面ABCD，AD⊥CD，∴AD⊥面PCD，∴AD⊥PD.
在Rt△PAD中，PD=AD=a，则，


∴异面直线PA与DE的夹角为……………………6分
（2）取DC的中点M，AB的中点N，连PM、MN、PN.
∴D到面PAB的距离等于点M到
面PAB的距离.……7分
过M作MH⊥PN于H，
∵面PDC⊥面ABCD，PM⊥DC，
∴PM⊥面ABCD，∴PM⊥AB，
又∵AB⊥MN，PM∩MN=M，
∴AB⊥面PMN. ∴面PAB⊥面PMN，
∴MH⊥面PAB，
则MH就是点D到面PAB的距离.……10分
在
………………12分解法二：如图取DC的中点O，连PO，
∵△PDC为正三角形，∴PO⊥DC.
又∵面PDC⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD.
如图建立空间直角坐标系
则
.………………………………3分
（1）E为PC中点， ，
，

∴异面直线PA与DE所成的角为……………………6分
（2）可求，
设面PAB的一个法向量为，
  ①    . ②
由②得y=0，代入①得
令…………………………9分
则D到面PAB的距离d等于在n上射影的绝对值


即点D到面PAB的距离等于………………………………12分