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题目
题型:不详难度:来源:
(12分)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD的中点.

(I)在平面ABC内,试做出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD1A1
(II)设(I)中的直线l交AB于点M,交AC于点N,求二面角A﹣A1M﹣N的余弦值.
答案
(I)见解析(II)
解析
(I)在平面ABC内,过点P作直线l∥BC
∵直线l⊄平面A1BC,BC⊂平面A1BC,
∴直线l∥平面A1BC,
∵△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,结合l∥BC得AD⊥l
∵AA1⊥平面ABC,l⊂平面ABC,∴AA1⊥l
∵AD、AA1是平面ADD1A1内的相交直线
∴直线l⊥平面ADD1A1
(II)连接A1P,过点A作AE⊥A1P于E,过E点作EF⊥A1M于F,连接AF
由(I)知MN⊥平面A1AE,结合MN⊂平面A1MN得平面A1MN⊥平面A1AE,
∵平面A1MN∩平面A1AE=A1P,AE⊥A1P,∴AE⊥平面A1MN,
∵EF⊥A1M,EF是AF在平面A1MN内的射影,
∴AF⊥A1M,可得∠AFE就是二面角A﹣A1M﹣N的平面角
设AA1=1,则由AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,可得∠BAD=60°,AB=2且AD=1
又∵P为AD的中点,∴M是AB的中点,得AP=,AM=1
Rt△A1AP中,A1P==;Rt△A1AM中,A1M=
∴AE==,AF==
∴Rt△AEF中,sin∠AFE==,可得cos∠AFE==
即二面角A﹣A1M﹣N的余弦值等于

核心考点
试题【(12分)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线】;主要考察你对空间几何体的结构特征等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,三棱柱的侧棱与底面垂直,底面是等腰直角三角形,,侧棱分别是的中点,点在平面上的射影是的垂心

(1)求证:
(2)求与平面所成角的大小.
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如图,多面体中,四边形是边长为的正方形,平面垂直于平面,且.
(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)若分别为棱的中点,求证:∥平面
(Ⅲ)求多面体的体积.

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如图,四边形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=4,AB=3,点E、F分别在BC、AD上,EF∥AB.现将四边形ABEF沿EF折起,使平面ABEF平面EFDC,设AD中点为P.
(Ⅰ)当E为BC中点时,求证:CP∥平面ABEF;
(Ⅱ)设BE=x,当x为何值时,三棱锥A-CDF的体积有最大值?并求出这个最大值.

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如图,在四棱锥中, 平面.
(Ⅰ)求证:平面
(Ⅱ)求棱锥的高.

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如图1,在直角梯形中,AD//BC, =900,BA="BC" 把ΔBAC沿折起到的位置,使得点在平面ADC上的正投影O恰好落在线段上,如图2所示,点分别为线段PC,CD的中点.

(I) 求证:平面OEF//平面APD;
(II)求直线CD与平面POF;
(III)在棱PC上是否存在一点,使得到点P,O,C,F四点的距离相等?请说明理由.
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