常数a≥0，函数f（x）=x-ln2x+2alnx-1。（1）令g（x）=xf"（x）（x>0），求g（x）的最小值并比较g（x）的最小值与0的大小；（2 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：安徽省模拟题难度：来源：

常数a≥0，函数f（x）=x-ln²x+2alnx-1。
（1）令g（x）=xf"（x）（x>0），求g（x）的最小值并比较g（x）的最小值与0的大小；
（2）证明：当x>1时，恒有x>ln²x-2alnx+1。

答案

解：（1）∵f（x）=x-ln²x+2alnx-1（x>0），
∴f"（x）=1-

∴g（x）=xf"（x）=x-21nx+2a（x>0）
∴

令g"（x）=0可得x=2
当x∈（0，2）时，g"（x）＜0；
当x∈（2，+∞）时，g"（x）>0
∴g（x）在x=2处取得极小值g（2）=2-21n2+2a，
即g（x）的最小值为g（2）=2-21n2+2a，
g（2）=2（1-ln2）+2a
∵ln2＜1，
∴1-ln2>0
又a≥0，
∴g（2）>0。
（2）由（1）可知，g（x）的最小值是正数，
所以对一切x>0恒有g（x）=xf"（x）>0
从而当x>0时，恒有f"（x）>0，故f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴当x>1时，f（x）>f（1）
又f（1）=1-ln²1+2aln1-1=0，
∴f（x）>0，即x-1-ln²x+2alnx>0，
∴x>ln²x-2alnx+1
故当x>1时，恒有x>ln²x-2alnx+1。

核心考点

试题【常数a≥0，函数f（x）=x-ln2x+2alnx-1。（1）令g（x）=xf"（x）（x>0），求g（x）的最小值并比较g（x）的最小值与0的大小；（2】；主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]

举一反三

如图，有一矩形钢板ABCD缺损了一角(图中阴影部分)，边缘线OM上每一点到D的距离都等于它到边AB的距离，工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，若AB=1米，AD=0.5米，问如何画切割线EF可使五边形ABCEF的面积最大？

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已知函数f（x）=ax²+lnx（a∈R）。
（1）当时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）如果函数g（x），f₁（x），f₂（x）在公共定义域D上，满足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x），那么就称g（x）为f₁（x），f₂（x）的 “活动函数”。已知函数f₁（x）=（a-）x²+2ax+（1-a²）lnx，f₂（x）=x²+2ax。
①若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f₁（x），f₂（x）的“活动函数”，求a的取值范围；
②当时，求证：在区间（1，+∞）上，函数f₁（x），f₂（x）的“活动函数”有无穷多个。