题目

题型：浙江省模拟题难度：来源：

已知函数f（x）=ax²+lnx（a∈R）。
（1）当时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）如果函数g（x），f₁（x），f₂（x）在公共定义域D上，满足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x），那么就称g（x）为f₁（x），f₂（x）的 “活动函数”。已知函数f₁（x）=（a-）x²+2ax+（1-a²）lnx，f₂（x）=x²+2ax。
①若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f₁（x），f₂（x）的“活动函数”，求a的取值范围；
②当时，求证：在区间（1，+∞）上，函数f₁（x），f₂（x）的“活动函数”有无穷多个。

答案

解：（1）当时，

对于x∈[1，e]，有f"（x）>0，
∴f（x）在区间[1，e]上为增函数
∴。
（2）①在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f₁（x），f₂（x）的“活动函数”，
则f₁（x）＜f（x）＜f₂（x），令p（x）=f（x）- f₂（x）=
对x∈（1，+∞）恒成立
且
对x∈ （1，+∞）恒成立
∴
（i）若，令p（x）=0，得极值点x₁=1，
当x₂>x₁=1，即时，在（x₂，+∞）上有p"（x）>0，
此时p（x）在区间（x₂，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x₂），+∞），不合题意；
p（x）∈（p（1），+∞），也不合题意；
（ii）若，则有2a-1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p"（x）＜0，
从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
要使p（x）＜0在此区间上恒成立，
只需满足p（1）=-a-，
所以
又因为
h（x）在（1，+∞）上为减函数

所以
综合可知a的范围是。
②当时，，
则
因为
y=f₂（x）- f₁（x）在（1，+∞）上为增函数
所以
设
则f₁（x）＜R（x）＜f₂（x），
所以在区间（1，+∞）上，函数f₁（x），f₂（x）的“活动函数”有无穷多个
其他如R（x）=λf₁（x）+μ（x）f₂（x）（0 ＜λ，μ＜1，且λ+μ=1）等也可以。