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题目
题型:天津模拟题难度:来源:
已知函数f(x)=xlnx。
(1)求f(x)的最小值;
(2)讨论关于x的方程f(x)-m=0(m∈R)的解的个数;
(3)当a>0,b>0时,求证:f(a)+f(b)≥f(a+b)-(a+b)ln2。
答案
解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),
f"(x)=lnx+1,令f"(x)=0,得
当x∈(0,+∞)时,f"(x),f(x)的变化情况如下:

所以f(x)在(0,+∞)上的最小值是
(2)当时,f(x)单调递减且f(x)的取值范围是
时,f(x)单调递增且f(x)的取值范围是
下面讨论f(x)-m=0的解:
所以,当时,原方程无解
或m≥0时,原方程有唯一解
时,原方程有两解。
(3)原不等式可化为:f(a)+f(a+b)-a]≥f(a+b)-(a+b)ln2,
设函数g(x)=f(x)+f(k-x)(k>0),
则g(x)=xlnx+(k-x)ln(k-x)(0<x<k)

令g"(x)<0,解得:
令g"(x)>0,则

解得
∴函数g(x)在上单调递减,在上单调递增
∴g(x)在(0,k)上的最小值为
∴当x∈(0,k)时,总有

klnk-kln2=f(k)-kln2
令x=a,k-x=b,
则有:f(a)+f(b)≥f(a+b)-(a+ b)ln2。
核心考点
试题【已知函数f(x)=xlnx。(1)求f(x)的最小值; (2)讨论关于x的方程f(x)-m=0(m∈R)的解的个数; (3)当a>0,b>0时,求证】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=ex-x(e为自然对数的 底数)。
(1)求f(x)的最小值;
(2)不等式f(x)>ax的解集为P,若M={x|≤x≤2}且M∩P≠,求实数a的取值范围;
(3)已知n∈N*,且,是否存在等差数列{an} 和首项为f(1),公比大于0的等比数列{bn},使得a1+a2+…+an+b1+b2+…+bn=Sn?若存在,请求出数列{an}、{bn}的通项公式;若不存在,请说明理由。
题型:辽宁省模拟题难度:| 查看答案
已知f(x)=ae-x+cosx-x(0<x<1),
(1)若对任意的x∈(0,1),f(x)<0恒成立,求实数a的取值范围;
(2)求证:e-x+sinx<1+(0<x<1)。
题型:模拟题难度:| 查看答案
对于连续函数f(x)和g(x),函数|f(x)-g(x)|在闭区间[a,b]上的最大值称为f(x)与g(x)在闭区间[a,b]上的“绝对差”,记为(f(x),g(x)),则(    )。
题型:湖北省模拟题难度:| 查看答案
函数y=x+2sinx在区间[,π]上的最大值是[     ]
A.    
B.    
C.   
D.以上都不对
题型:0103 期末题难度:| 查看答案
f(x)=ax3-3x+1对于x∈[-1,1]总有f(x)≥0成立,则a=(    )。
题型:0103 期末题难度:| 查看答案
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