题目

题型：模拟题难度：来源：

已知f(x)=ae^-x+cosx-x(0＜x＜1)，
(1)若对任意的x∈(0，1)，f(x)＜0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)求证：e^-x+sinx＜1+(0＜x＜1)。

答案

解：(1)由f(x)＜0得a＜(x-cosx)·e^x，
记g(x)=(x-cosx)·e^x，
则g′(x)=(1+sinx-cosx+x)·e^x，
因为0＜x＜1，
所以sinx＞1，1-cosx＞0，e^x＞0，
所以g′(x)＞0，则g(x)在(0，1)上为增函数，
所以-1＜g(x)＜(1-cos1)·e，
故a≤-1。
(2)构造函数，且h(0)=0，
则h′(x)= -e^-x+cosx-x，
由(1)知当a=-1时f(x)=-e^-x+cosx-x＜0(0＜x＜1)，
所以h(x)在(0，1)上单调递减，所以h(x)＜h(0)=0，
所以。