题目

题型：0103 期末题难度：来源：

某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a(3≤a≤5)元的管理费，预计当每件产品的售价为x(9≤x≤11)元时，一年的销售量为(12-x)²万件，
(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)。

答案

解：(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为：
L=(x-3-a)(12-x)²，x∈[9，11]；
(2)L′(x)=(12-x)²-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x)，
令L′(x)=0得x=6+a或x=12(不合题意，舍去)，
∵3≤a≤5，
∴，
在x=6+a两侧L′的值由正值变负值，
所以，当，即时，L_max=L(9)=(9-3-a)(12-9)²=9(6-a)；
当，即时，
L_max=L(6+a)=(6+a-3-a)[12-(6+a)]²=4(3-a)³，
∴，
即当时，当每件售价为9元，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)=9(6-a)万元；
当时，当每件售价为(6+a)元，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)=4(3-a)³万元。