题目

题型：不详难度：来源：

已知集合A={f（x）|f²（x）-f²（y）=f（x+y）•f（x-y），x、y∈R}，有下列命题：
①若f（x）=

1，x≥0 -1，x＜0

，则f（x）∈A；
②若f（x）=kx，则f（x）∈A；
③若f（x）∈A，则y=f（x）可为奇函数；
④若f（x）∈A，则对任意不等实数x₁，x₂，总有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0成立．
其中所有正确命题的序号是______．（填上所有正确命题的序号）

答案

①令x≥y≥0，f²（x）-f²（y）=0而f（x+y）f（x-y）=1，∴①错误的；
②当f（x）=kx时，f²（x）-f²（y）=k²x²-k²y²=k（x-y）•k（x+y）=f（x+y）•f（x-y）成立，∴②正确．
③令x=y=0可得f（0）=0；再令x=0，有f²（0）-f²（y）=f（y）f（-y）即f（y）（f（y）+f（-y））=0，
则有f（y）=0或f（-y）=-f（y），因此f（x）为奇函数，∴③正确；
④如函数f（x）满足条件：

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0成立．则函数在定义域上是减函数，
由②知当y=kx时，满足条件，但当k＞0时，函数y=kx为增函数，∴④不满足条件，故∴④错误．
故答案为：②③