题目

题型：广东省模拟题难度：来源：

有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）．有人应用数学知识作了如下设计：如图（a），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（b）．
（1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V₁；
（2）由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切、焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V₂＞V₁．

答案

解：（1）设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为4﹣2x，高为x，
∴V₁=（4﹣2x）²x=4（x³﹣4x²+4x）（0＜x＜2）．
∴V₁"=4（3x²﹣8x+4）．
令V₁"=0，得x₁=，x₂=2（舍去）．
而V₁"=12（x﹣）（x﹣2），又当x＜时，V₁"＞0；
当＜x＜2时，V₁"＜0，
∴当x=时，V₁取最大值．
（2）重新设计方案如下：如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；
如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；
如图③，将图②焊成长方体容器．新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V₂=3×2×1=6，显然V₂＞V₁．故第二种方案符合要求．