题目

题型：湖南省月考题难度：来源：

已知函数，其中a是大于0的常数。
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）当a∈（1，4）时，求函数f（x）在[2，+∞）上的最小值；
（3）若对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，试确定a的取值范围。

答案

解：（1）由得    
解得a＞1时，∞定义域为（0，+）    
a=1时，定义域为{x|x＞0且x≠1}，    
0＜a＜1时，定义域为或}；
（2）设，
当a∈（1，4），x∈[2，+∞）时，恒成立，
∴在[2，+∞）上是增函数，
∵在[2，+∞）上是增函数，
∴在[2，+∞）上的最小值为；
（3）对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，  
即对x∈[2，+∞）恒成立
∴a＞3x-x²，而在x∈[2，+∞）上是减函数，
∴h（x）_max=h（2）=2，
∴a＞2。