题目

题型：期末题难度：来源：

已知函数f（x）=e^x﹣ax﹣1（a＞0，e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，
证明：．

答案

（1）解：由题意a＞0，f′（x）=e^x﹣a，
由f′（x）=e^x﹣a=0得x=lna．
当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0．
∴f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．
即f（x）在x=lna处取得极小值，且为最小值，
其最小值为f（lna）=e^lna﹣alna﹣1=a﹣alna﹣1．
（2）解：f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f（x）_min≥0．
由（1），设g（a）=a﹣alna﹣1，
所以g（a）≥0．
由g′（a）=1﹣lna﹣1=﹣lna=0得a=1．
∴g（a）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
∴g（a）在a=1处取得最大值，而g（1）=0．
因此g（a）≥0的解为a=1，
∴a=1．
（3）证明：由（2）知，对任意实数x均有e^x﹣x﹣1≥0，即1+x≥e^x．
令（n∈N*，k=0，1，2，3，…，n﹣1），则．
∴．
∴=．